پاسخ فعالیت صفحه 20 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت حل معادلات درجه دوم با اتحادها صفحه 20 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان کوشا! این فعالیت عالی، خلاصه‌ای از روش‌های مختلف حل **معادلات درجه دوم** است که بر پایه‌ی **اتحادهای جبری** استوارند. هدف ما این است که بفهمیم هر معادله با کدام اتحاد یا روش، بهتر حل می‌شود. ### گام اول: تطبیق دادن روش‌ها (ستون اول) با معادلات (ستون دوم) | روش (ستون اول) | معادله (ستون دوم) | دلیل تطبیق | | :---: | :---: | :---: | | **عامل‌یابی (فاکتورگیری)** | $\mathbf{x^2 + 6x = 0}$ | این معادله فاقد جمله‌ی ثابت ($\mathbf{c=0}$) است و با فاکتورگیری از $\mathbf{x}$ حل می‌شود: $\mathbf{x(x+6)=0}$ | | **اتحاد مربع مجموع دو جمله** | $\mathbf{x^2 + 6x + 9 = 0}$ | چون $\mathbf{x^2}$ و $\mathbf{9}$ مربع کامل هستند و جمله‌ی وسط $\mathbf{6x = 2(x)(3)}$ است: $\mathbf{(x+3)^2=0}$ | | **اتحاد مزدوج و روش ریشه‌گیری** | $\mathbf{x^2 - 16 = 0}$ | این معادله فاقد جمله‌ی $\mathbf{x}$ ($\mathbf{b=0}$) است و می‌توان آن را به صورت $\mathbf{(x-4)(x+4)=0}$ نوشت یا مستقیماً از $\mathbf{x^2 = 16}$ جذر گرفت. | | **اتحاد جمله مشترک** | $\mathbf{x^2 + 5x + 6 = 0}$ | این معادله به شکل $\mathbf{x^2+(a+b)x+ab=0}$ است که در آن $\mathbf{a=2}$ و $\mathbf{b=3}$ (چون $\mathbf{2+3=5}$ و $\mathbf{2\times 3=6}$). | | **اتحاد مربع تفاضل دو جمله** | $\mathbf{x^2 - 10x + 25 = 0}$ | چون $\mathbf{x^2}$ و $\mathbf{25}$ مربع کامل هستند و جمله‌ی وسط $\mathbf{-10x = 2(x)(-5)}$ است: $\mathbf{(x-5)^2=0}$ | --- ### گام دوم: کامل کردن حل معادلات (ستون سوم) **معادله ۱: $\mathbf{x^2 + 6x = 0}$ (با فاکتورگیری)** $$\mathbf{x(x+6) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ یا } x=-6}$$ **معادله ۲: $\mathbf{x^2 + 6x + 9 = 0}$ (با مربع مجموع)** $$\mathbf{(x+3)^2 = 0 \Rightarrow x=-3 \text{ (ریشه‌ی مضاعف)}}$$ **معادله ۳: $\mathbf{x^2 - 16 = 0}$ (با مزدوج و ریشه‌گیری)** $$\mathbf{x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16}$$ * **روش ۱ (مزدوج):** $\mathbf{(x-4)(x+4)=0}$. ریشه‌ها: $\mathbf{x=4}$ یا $\mathbf{x=-4}$ * **روش ۲ (ریشه‌گیری):** $\mathbf{x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt{16} \Rightarrow x=4 \text{ یا } x=-4}$ **معادله ۴: $\mathbf{x^2 + 5x + 6 = 0}$ (با جمله مشترک)** $$\mathbf{(x+3)(x+2) = 0 \Rightarrow x=-3 \text{ یا } x=-2}$$ **معادله ۵: $\mathbf{x^2 - 10x + 25 = 0}$ (با مربع تفاضل)** $$\mathbf{(x-5)^2 = 0 \Rightarrow x-5=0 \Rightarrow x = 5 \text{ (ریشه‌ی مضاعف)}}$$ * **تکمیل جای خالی:** $\mathbf{(x-5)(\mathbf{x-5}) = 0 \Rightarrow x = \mathbf{5} \text{ یا } x = \mathbf{5}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت تحلیل روش‌های حل معادله درجه دوم صفحه 20 ریاضی دهم انسانی آفرین بر شما! در این قسمت، ما در حال **تحلیل استراتژی‌های حل معادله** هستیم تا بفهمیم کدام روش در چه شرایطی بهترین کاربرد را دارد. ### الف) حالت $\mathbf{c=0}$ * **سؤال:** اگر $\mathbf{c=0}$، از کدام روش بالا استفاده می‌کنید؟ * **پاسخ:** در این حالت، معادله به صورت $\mathbf{ax^2 + bx = 0}$ در می‌آید. بهترین و ساده‌ترین روش، **عامل‌یابی (فاکتورگیری) از $\mathbf{x}$** است: $$\mathbf{x(ax + b) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ یا } ax+b=0}$$ ### ب) استفاده از اتحاد مربع دو جمله‌ای * **سؤال:** در چه صورتی از اتحاد مربع دو جمله‌ای ($athbf{a^2 \pm 2ab + b^2}$) استفاده می‌کنید؟ * **پاسخ:** وقتی معادله‌ی درجه دوم به صورت **سه جمله‌ای** است و: 1. جمله‌ی اول ($\mathbf{ax^2}$) و جمله‌ی سوم ($\mathbf{c}$) **مربع کامل** باشند (مانند $\mathbf{x^2}$ و $\mathbf{9}$). 2. جمله‌ی وسط ($\mathbf{bx}$) دو برابر حاصل‌ضرب ریشه‌های $\mathbf{ax^2}$ و $\mathbf{c}$ باشد. (یعنی $\mathbf{b = 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{c}}$) * مثال: $\mathbf{x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 0}$ ### پ) شرط $\mathbf{b}$ برای اتحاد مزدوج و ریشه‌گیری * **سؤال:** برای حل معادله‌ی درجه دو به کمک اتحاد مزدوج یا ریشه‌گیری، $\mathbf{b}$ در چه شرطی صدق می‌کند؟ آیا علامت‌های $\mathbf{a}$ و $\mathbf{c}$ مهم است؟ * **شرط $\mathbf{b}$:** در این حالت، معادله باید فاقد جمله‌ی $\mathbf{x}$ باشد، یعنی $\mathbf{b}$ باید **صفر** باشد. ($\mathbf{ax^2 + c = 0}$) * **اهمیت $\mathbf{a}$ و $\mathbf{c}$:** بله، علامت‌ها بسیار مهم هستند! * برای اینکه بتوانیم از ریشه‌گیری استفاده کنیم ($\mathbf{ax^2 = -c \Rightarrow x^2 = -c/a}$)، حاصل $\mathbf{-c/a}$ باید یک **عدد مثبت** باشد. این یعنی $\mathbf{a}$ و $\mathbf{c}$ باید **علامت‌های متضادی** داشته باشند (یکی مثبت و دیگری منفی). در غیر این صورت، معادله **جواب حقیقی** ندارد. ### ت) ریشه‌ی مضاعف * **سؤال:** در کدام یک از اتحادهای فوق جواب معادله، ریشه‌ی مضاعف محسوب می‌شود؟ * **پاسخ:** ریشه‌ی مضاعف زمانی رخ می‌دهد که معادله، حاصل بسط **اتحاد مربع دوجمله‌ای** (مجموع یا تفاضل) باشد و به شکل $\mathbf{(x \pm k)^2 = 0}$ در آید. در این حالت، دو جواب با هم برابرند. * مثال: $\mathbf{x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 0 \Rightarrow x=-3}$ (مضاعف)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت نوشتن معادله درجه دوم بدون جواب صفحه 20 ریاضی دهم انسانی این یک سؤال خیلی عمیق است! معادله درجه دوم معمولاً دو جواب دارد، اما گاهی اوقات **هیچ جواب حقیقی** ندارد. این اتفاق زمانی می‌افتد که ریشه‌ها «خیالی» یا غیرحقیقی باشند. ### علت نداشتن جواب حقیقی یک معادله درجه دوم هنگامی جواب حقیقی ندارد که وقتی آن را به فرم ریشه‌گیری $\mathbf{x^2 = k}$ می‌بریم، $\mathbf{k}$ یک **عدد منفی** باشد. می‌دانیم که جذر گرفتن از یک عدد منفی در مجموعه‌ی اعداد حقیقی ممکن نیست. ### دو نمونه معادله درجه دوم بدون جواب حقیقی 1. **نمونه اول:** $$\mathbf{x^2 + 4 = 0}$$ * **تحلیل:** اگر سعی کنیم آن را حل کنیم، داریم: $\mathbf{x^2 = -4}$. * **نتیجه:** هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که مربع آن برابر $\mathbf{-4}$ شود. پس این معادله **جواب حقیقی ندارد**. 2. **نمونه دوم:** $$\mathbf{x^2 - 2x + 5 = 0}$$ * **تحلیل:** این معادله را می‌توانیم به کمک اتحاد مربع کامل و جملات اضافی حل کنیم: $$\mathbf{(x^2 - 2x + 1) + 4 = 0}$$ $$\mathbf{(x-1)^2 + 4 = 0}$$ $$\mathbf{(x-1)^2 = -4}$$ * **نتیجه:** مجدداً مربع یک عبارت برابر با یک عدد منفی ($athbf{-4}$) شده است. چون $\mathbf{(x-1)^2}$ همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است، پس نمی‌تواند برابر $\mathbf{-4}$ باشد. این معادله نیز **جواب حقیقی ندارد**. **نکته کلیدی:** در حالت کلی، معادلات $\mathbf{x^2 + k = 0}$ که در آن $\mathbf{k}$ یک عدد مثبت است (مثل $\mathbf{4}$ یا $\mathbf{1}$)، هرگز جواب حقیقی ندارند.